当随机性不可忽略

许多系统含本质随机性，需随机模型。三大利器：

蒙特卡洛模拟

用大量随机抽样估计难算的量：按大数定律，样本均值收敛到期望。
$\text{例：用随机打点估 }\pi\approx 4\times\frac{\text{落入圆内点数}}{\text{总点数}}$

马尔可夫链

「未来只依赖现在、与过去无关」的随机过程，用转移矩阵 $P$ 刻画；长期行为由平稳分布 $\boldsymbol\pi=\boldsymbol\pi P$ 决定。

排队论

到达率 $\lambda$、服务率 $\mu$ 的 M/M/1 队列，平均队长 $L=\dfrac{\rho}{1-\rho}$（$\rho=\lambda/\mu$），用于容量规划。

例题

例　银行每小时来 $\lambda=8$ 人、服务 $\mu=10$ 人，$\rho=0.8$，平均排队 $L=4$ 人——逼近满载时队伍剧增，提示需加窗口。

应用

随机模型用于金融风险（VaR、期权定价的蒙特卡洛）、服务系统（呼叫中心、医院）、可靠性、天气与库存、PageRank（马氏链）；处理不确定性是现代建模的必备能力。