优化模型三要素

把「怎样最好」翻译成数学：

  • 决策变量：可控量 $\mathbf x$；
  • 目标函数：要最大/最小化的量 $f(\mathbf x)$；
  • 约束条件：必须满足的限制 $g(\mathbf x)\le 0$。

线性规划 (LP)

目标与约束都线性时为 LP，可行域是凸多面体，最优在顶点，单纯形法高效求解：
$\max\ \mathbf c^\top\mathbf x\quad\text{s.t.}\ A\mathbf x\le \mathbf b,\ \mathbf x\ge0$

推广

  • 整数规划：变量取整（选址、排班，NP 难）；
  • 非线性规划：目标/约束非线性；
  • 多目标：多个相互冲突的目标，求 Pareto 前沿。

例题

例　某厂产 A、B 两品，单位利润 3、5，受工时与原料约束。设产量 $x_1,x_2$，建模 $\max 3x_1+5x_2$ s.t. 资源不等式，解 LP 得最优生产计划。

应用

优化建模用于生产计划、资源分配、投资组合、物流选址、排班调度、配料问题；它是运筹学与工业决策的核心，也是竞赛高频题型。