用变化率建模

当「量的变化速度」有规律时，自然得到微分方程。最基本的两类人口模型：
$\text{Malthus（指数）}:\ \frac{dN}{dt}=rN\ \Rightarrow\ N=N_0e^{rt}$
$\text{Logistic（阻滞）}:\ \frac{dN}{dt}=rN\Big(1-\frac{N}{K}\Big)$
Logistic 引入环境容量 $K$，增长先快后慢、趋于 $K$，更符合现实。

传染病 SIR 模型

把人群分为易感 $S$、感染 $I$、康复 $R$：
$\frac{dS}{dt}=-\beta SI,\quad \frac{dI}{dt}=\beta SI-\gamma I,\quad \frac{dR}{dt}=\gamma I$
基本再生数 $R_0=\beta S_0/\gamma$：$R_0>1$ 则暴发，$<1$ 则消退——这是防疫决策的量化依据。

例题

例　放射性衰变 $\dfrac{dm}{dt}=-\lambda m$ 解得 $m=m_0e^{-\lambda t}$，半衰期 $t_{1/2}=\ln2/\lambda$——同一指数模型解释衰变、冷却、药物代谢。

应用

微分方程模型用于疫情预测（SIR/SEIR）、种群生态、药代动力学、传热与冷却、经济增长；改变假设即得新模型，是机理建模最强大的工具。