离散时间的递推

当系统按「期」演化（年、月、代），用差分方程：下一期的状态由当前状态递推。线性常系数差分方程可用特征根求通解，与微分方程平行。

金融模型

  • 复利：$A_{n+1}=(1+r)A_n\Rightarrow A_n=A_0(1+r)^n$；
  • 等额本息还款：$B_{n+1}=(1+r)B_n-M$，由不动点 + 几何项解出每月还款 $M$。

种群结构：Leslie 矩阵

按年龄分组的种群用矩阵递推 $\mathbf n_{t+1}=L,\mathbf n_t$，矩阵 $L$ 含各龄生育率与存活率；其主特征值决定长期增长率与稳定年龄结构。

例题

例　贷款 $A_0$、月利率 $r$、$n$ 期还清，由 $B_n=0$ 解得月供
$M=\frac{A_0,r(1+r)^n}{(1+r)^n-1}$

应用

差分模型用于贷款/年金/投资、人口年龄结构、蛛网模型（价格波动）、经济周期、数值迭代；凡「逐期更新」的系统都可离散建模。