概念

$y=a^x,(a>0,a\ne1)$ 叫指数函数，定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,+\infty)$，恒过 $(0,1)$。

性质

$a>1$ 单调递增；$0<a<1$ 单调递减。运算律 $a^m a^n=a^{m+n}$，$(a^m)^n=a^{mn}$。

例题

例 1　$y=2^x$ 递增；$2^3\cdot2^{-1}=2^2=4$。

例 2　比较 $2^{0.3}$ 与 $2^{0.5}$：底 $>1$ 递增，故 $2^{0.3}<2^{0.5}$。

增长 / 衰减应用

银行复利：本金 $P$、年利率 $r$，$n$ 年后本利和 $A=P(1+r)^n$。
放射性衰减：$m=m_0\left(\dfrac12\right)^{t/T}$（$T$ 为半衰期）。
细菌繁殖：每小时翻倍，$t$ 小时后 $N=N_0\cdot2^t$。指数函数刻画“按比例增长/衰减”的现象。