概念

既有大小又有方向的量叫向量。坐标 $\vec a=(x_1,y_1)$，模 $|\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。

数量积

$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$$
判垂直：$\vec a\perp\vec b\Leftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0$。

例题

例 1　$\vec a=(1,2),\ \vec b=(2,-1)$：$\vec a\cdot\vec b=2-2=0$，故 $\vec a\perp\vec b$。

例 2　$|\vec a|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$。

力 / 速度合成应用

力的合成：两个力按平行四边形法则相加，合力 $=\vec F_1+\vec F_2$。
速度合成：船静水速度 $\vec v_1$、水流 $\vec v_2$，实际航速 $=\vec v_1+\vec v_2$；要垂直渡河需让合速度指向对岸。向量是物理里“带方向的量”的统一语言。