条件概率

$B$ 已发生时 $A$ 发生的概率：
$$P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}\quad(P(B)>0)$$

全概率与贝叶斯

$$P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i),\qquad P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}$$

例题

例 1　两箱取球，已知取到红球，反推它来自某箱的概率（贝叶斯典型应用）。

医学诊断应用

某病患病率 $0.1%$，检测灵敏度 $99%$、假阳性率 $5%$。某人检测呈阳性，真患病的概率约为多少？
由贝叶斯算得约 2%——因为健康人基数太大，假阳性远多于真阳性。这解释了“阳性≠一定患病”，是医学与质检里极重要的反直觉结论。