随机变量与正态分布

期望与方差

离散随机变量 $X$：
$$E(X)=\sum_i x_i p_i,\qquad D(X)=\sum_i (x_i-E(X))^2 p_i$$

正态分布

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ 图像是关于 $x=\mu$ 对称的钟形曲线，$\sigma$ 越小越“瘦高”。约 $68%$ 数据落在 $(\mu-\sigma,\ \mu+\sigma)$，约 $95%$ 落在 $(\mu-2\sigma,\ \mu+2\sigma)$。

例题

例 1　掷骰子点数期望 $E(X)=\dfrac{1+2+\cdots+6}{6}=3.5$。

应用

质量管理：零件尺寸近似正态分布，用 $\mu\pm3\sigma$ 设控制线，超出即报警（“3σ 原则”）。民意调查用正态近似给出置信区间；产品不合格率用正态分布预测。正态分布是自然与社会中最常见的“随机波动”模型。