裂项相消

$$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}$$
求和时中间项相互抵消。

错位相减

形如 $a_n=(\text{等差})\times(\text{等比})$ 的数列，$S_n$ 乘公比 $q$ 后与原式相减化简。

例题

例 1　$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$。

例 2　$\displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot2^k$ 用错位相减求。

应用

求“逐期累积”的总量（总利息、总产量）常需数列求和；裂项与错位相减是把“看似无法相加的一串”化简的两把利器。