三角形式与棣莫弗定理

$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$，则
$$z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

欧拉公式

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$$
令 $\theta=\pi$ 得欧拉恒等式 $e^{i\pi}+1=0$，把 $e,\ i,\ \pi,\ 1,\ 0$ 联系在一起。

例题

例 1　$\left(\cos\dfrac\pi3+i\sin\dfrac\pi3\right)^3=\cos\pi+i\sin\pi=-1$。

应用

棣莫弗定理快速求复数的高次幂与 $n$ 次方根；欧拉公式是傅里叶分析（把信号分解成正弦波）的基石，广泛用于通信、音频与图像压缩。