概念

矩阵是排成矩形的数表。二阶矩阵作用于向量实现线性变换（旋转、伸缩、投影等）：
$$\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax+by \ cx+dy \end{pmatrix}$$

行列式

$$\det=ad-bc$$
其绝对值是变换对面积的放缩倍数，$\det=0$ 表示降维（退化）。

例题

例 1　旋转 $90^\circ$ 的矩阵 $\begin{pmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}$ 把 $(1,0)$ 变为 $(0,1)$。

例 2　$\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 3 \end{pmatrix}$ 把图形横向放大 2 倍、纵向 3 倍，面积变 6 倍。

应用

计算机图形学用矩阵做旋转/缩放/平移；**图像处理、机器人位姿、数据降维（PCA）**都建立在矩阵与线性变换之上。