基本不等式

对 $a,b>0$：
$$\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$$
即“算术平均 $\ge$ 几何平均”，当且仅当 $a=b$ 取等号。

应用要点

和定积最大、积定和最小。

例题

例 1　$x>0$ 时 $x+\dfrac1x\ge2$，$x=1$ 取最小值 2。

例 2　周长固定的矩形，正方形面积最大（$a=b$）。

优化应用

用 $20,\text{m}$ 篱笆靠墙围矩形菜地（一边是墙），面积最大是多少？设宽 $x$、长 $20-2x$，面积 $S=x(20-2x)$，得 $x=5$ 时 $S$ 最大 $=50,\text{m}^2$。基本不等式是“资源固定求最优”的快捷工具。