概念

引入虚数单位 $i$（$i^2=-1$），形如 $z=a+bi$ 的数叫复数，$a$ 实部、$b$ 虚部，对应复平面上的点 $(a,b)$。

运算与模

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,\qquad |z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

例题

例 1　$(1+i)^2=1+2i+i^2=2i$。

例 2　$|3+4i|=5$；$\dfrac1i=-i$。

应用

复数让“负数开方”有意义，并把平面上的旋转变成乘法（乘 $i$ 就是逆时针转 $90^\circ$）。交流电、信号与振动分析用复数表示相位，极大简化计算。