概念

定积分 $\displaystyle\int_a^b f(x),dx$ 表示曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴在 $[a,b]$ 上所围的带符号面积。

微积分基本定理

若 $F'(x)=f(x)$，则
$$\int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a)$$

例题

例 1　$\displaystyle\int_0^1 x^2,dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac13$。

例 2　$\displaystyle\int_0^\pi \sin x,dx=[-\cos x]_0^\pi=2$。

应用

求不规则面积 / 旋转体体积：曲线围成的面积、绕轴旋转所得立体的体积都用定积分算。变力做功 $W=\displaystyle\int_a^b F(x),dx$；总路程、总流量等累积量都是“把无数小量加起来”，这正是积分的思想。