单调性

区间内 $f'(x)>0$ 则 $f$ 递增，$f'(x)<0$ 则递减。

极值

若 $f'(x_0)=0$ 且导数在 $x_0$ 两侧变号，则 $x_0$ 是极值点：左正右负为极大，左负右正为极小。

例题

例 1　$f(x)=x^3-3x$，$f'(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1$；$x=-1$ 极大值 2，$x=1$ 极小值 $-2$。

最优化应用

用料最省：做一个容积 $V$ 固定的无盖圆柱罐，半径多大用料最少？写出表面积 $S(r)$，令 $S'(r)=0$ 解出最优 $r$。利润最大、成本最低、路程最短等实际优化问题，统一用“求导→令导数为零→比较”来解，是导数最重要的应用。