傅里叶变换

把时域信号分解为频率成分：
$\hat f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t),e^{-i\omega t},dt$
离散版 DFT 由快速傅里叶变换 (FFT) 在 $O(n\log n)$ 内算出，是数字信号处理的引擎。

拉普拉斯与 Z 变换

拉普拉斯变换把微分方程化为代数方程，便于分析线性系统的稳定性（极点位置）；离散系统对应 Z 变换。

采样、滤波与小波

奈奎斯特采样定理：采样率须高于信号最高频率的两倍才能无失真还原。滤波器按频率取舍信号；小波变换兼顾时间与频率分辨率，适合突变与图像。

例题

例　方波的傅里叶级数只含奇次谐波 $\sin\omega t+\tfrac13\sin3\omega t+\tfrac15\sin5\omega t+\cdots$，频谱解释了它“尖锐”的成因。

应用

音频/图像处理（均衡器、降噪、JPEG/MP3）、通信（调制解调、5G）、医学成像（CT 的滤波反投影、MRI 的 $k$ 空间重建）、雷达与地震勘探，全部建立在傅里叶分析之上。