矩阵与线性方程组

矩阵描述线性变换，也是线性方程组 $A\mathbf x=\mathbf b$ 的紧凑写法。秩是独立行/列数，决定解的存在性与唯一性；可逆当且仅当 $\det A\neq0$，此时 $\mathbf x=A^{-1}\mathbf b$。高斯消元是通用解法。

特征值与对角化

若 $A\mathbf v=\lambda\mathbf v\ (\mathbf v\neq\mathbf0)$，则 $\lambda$ 是特征值、$\mathbf v$ 是特征向量，由特征方程 $\det(A-\lambda I)=0$ 求出。可对角化时 $A=PDP^{-1}$，于是 $A^n=PD^nP^{-1}$ 极易计算。

二次型与矩阵分解

二次型 $\mathbf x^\top A\mathbf x$ 的正定性由特征值符号判定。常用分解：LU（解方程）、QR（最小二乘）、SVD $A=U\Sigma V^\top$（最稳健，用于降维与压缩）。

例题

例 1　$A=\begin{pmatrix}2&1\1&2\end{pmatrix}$：$\det(A-\lambda I)=(\lambda-1)(\lambda-3)=0$，特征值 $1,3$，正定。

例 2　对角化后 $A^{10}$ 只需把对角元各取 $10$ 次方，避免反复矩阵乘法。

应用

PCA 主成分分析用协方差矩阵的特征向量降维；Google PageRank 是转移矩阵的主特征向量；图形学用矩阵做旋转/投影；SVD 支撑推荐系统与图像压缩。线性代数是数据科学与 AI 的通用语言。