曲线论

用微积分研究几何。空间曲线由曲率 $\kappa$（弯曲程度）与挠率 $\tau$（偏离平面程度）刻画，Frenet 标架给出其运动方程。圆的曲率为 $1/R$，直线曲率为 $0$。

曲面论与高斯曲率

曲面用第一基本形式（度量长度与角度）和第二基本形式（弯曲方式）描述。高斯“绝妙定理”指出高斯曲率 $K$ 只依赖第一基本形式——是曲面的内蕴性质，故无法把球面无失真地摊平成地图。

黎曼几何与代数几何

黎曼几何把度量推广到弯曲的高维流形，是广义相对论的语言。代数几何研究多项式方程的零点集（代数簇），用代数工具处理几何，是现代数学的中心领域之一。

例题

例　球面 $K=1/R^2>0$（正弯曲），平面 $K=0$，马鞍面 $K<0$。地图投影必有变形，正源于此。

应用

广义相对论把引力解释为时空弯曲（黎曼几何）；CAD/CAM 与动画用微分几何设计光滑曲面；机器人运动规划、医学影像配准与计算机视觉都依赖曲率与流形。