拓扑空间

只保留“邻近”关系而舍弃距离：用开集族定义拓扑。连续映射即“开集的原像是开集”。拓扑学研究在连续形变（同胚）下不变的性质——咖啡杯与甜甜圈拓扑等价。

紧致性与连通性

紧致（每个开覆盖有有限子覆盖）推广了闭区间的良好性质，保证连续函数取到最值；连通刻画“整体一块”。这些是分析中存在性定理的拓扑内核。

分离公理与基本群

豪斯多夫等分离公理度量空间“分得开”的程度。代数拓扑用基本群 $\pi_1$ 记录“环路能否收缩”：
$\pi_1(\text{圆周})=\mathbb Z,\qquad \pi_1(\text{平面})={0}$
整数计的是绕圈数，由此区分本质不同的空间。

例题

例　平面挖去一点后不再单连通：绕洞一圈的环路无法收缩，基本群为 $\mathbb Z$。

应用

拓扑数据分析 (TDA) 用“持续同调”提取高维数据的形状特征；网络的连通性与鲁棒性、不动点定理（经济均衡存在性）、以及凝聚态物理的拓扑相变都以拓扑为语言。