误差与数值积分

计算机只能近似计算，须控制截断误差与舍入误差。数值积分用梯形公式、辛普森公式逼近 $\int_a^b f,dx$；插值用拉格朗日/样条把离散点连成光滑曲线。

方程求解

线性方程组用高斯消元或迭代法（雅可比、共轭梯度）；非线性方程用二分法（稳）与牛顿法（快）：
$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

微分方程数值解

常微分方程用欧拉法与精度更高的龙格–库塔法 (RK4)；偏微分方程用有限差分与有限元 (FEM) 把连续问题离散成大型线性方程组。最小二乘做数据拟合。

例题

例　牛顿法求 $\sqrt2$（解 $x^2-2=0$）：$x_{n+1}=\dfrac{x_n}{2}+\dfrac1{x_n}$，从 $1.5$ 迭代两步即得 $1.41421\ldots$，收敛极快（二阶）。

应用

有限元是飞机、桥梁、芯片工程仿真的标准工具；CFD 计算流体、天气预报解大气方程、影视特效与电池设计都靠数值方法。它让无法解析求解的方程“算得出来”。