测度与勒贝格积分

黎曼积分对“病态”函数失效。勒贝格测度先度量集合的“大小”，再按函数值水平切分求积分，使更广的函数可积，并具有优良的极限交换性质（控制收敛定理）。这是现代分析与概率论的统一基础。

Banach 空间与 Hilbert 空间

完备的赋范线性空间称 Banach 空间；带内积、可谈“正交”与“投影”的完备空间称 Hilbert 空间（如平方可积函数空间 $L^2$）。傅里叶级数本质是 $L^2$ 中按正交基展开。

线性算子、谱与压缩映射

研究空间之间的线性算子及其谱（特征值的推广）。压缩映射原理：完备空间上的压缩映射有唯一不动点，且迭代必收敛——是存在唯一性证明的万能工具。
$d(Tx,Ty)\le k,d(x,y),\ k<1\ \Rightarrow\ \exists!,x^=Tx^$

例题

例　$T(x)=\cos x$ 在适当区间是压缩映射，反复按计算器的 $\cos$ 键收敛到不动点 $x\approx0.739$。

应用

Hilbert 空间是量子力学的数学框架（态是向量、可观测量是算子）；压缩映射保证微分方程解、马尔可夫链平稳分布与数值迭代的收敛；$L^2$ 理论支撑信号处理与机器学习核方法。