三类典型方程

含多元未知函数偏导数的方程，按特征分三类：
$\nabla^2 u=0\ (\text{椭圆·稳态}),\quad u_t=\alpha\nabla^2 u\ (\text{抛物·扩散}),\quad u_{tt}=c^2\nabla^2 u\ (\text{双曲·波动})$
分别描述平衡态（拉普拉斯/泊松）、热传导与扩散、振动与波。

求解方法

分离变量法把解写成各变量函数之积，化为常微分方程与傅里叶级数；特征线法解一阶与双曲方程；变分法把方程化为能量泛函的极小问题，导出有限元法的弱形式。

非线性 PDE

纳维–斯托克斯（流体）、反应扩散、哈密顿–雅可比等非线性方程行为丰富（激波、孤立子、湍流），多数无解析解，依赖数值与定性分析。

例题

例　一维热方程 $u_t=\alpha u_{xx}$ 在 $[0,L]$ 两端为零，分离变量得 $u=\sum b_n e^{-\alpha(n\pi/L)^2 t}\sin\dfrac{n\pi x}{L}$，高频成分衰减最快，故温度趋于平滑。

应用

PDE 是连续介质世界的语言：热与扩散、声光电磁波、量子力学薛定谔方程、流体力学、弹性力学，乃至金融的 Black–Scholes 期权定价方程，都是偏微分方程。