数项级数与收敛判别

级数 $\sum a_n$ 收敛即部分和有极限。常用判别法：比较判别法、比值判别法（$\lim|a_{n+1}/a_n|<1$ 收敛）、根值判别法；交错级数用莱布尼茨判别法。例如 $\sum\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}$ 收敛，调和级数 $\sum\dfrac1n$ 发散。

幂级数与泰勒级数

幂级数 $\sum a_n(x-x_0)^n$ 有收敛半径 $R$。光滑函数可展成泰勒级数：
$f(x)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n,\qquad e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$

傅里叶级数

周期函数可分解为正弦/余弦之和：
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big)$
任何周期信号都是不同频率简谐波的叠加——这是信号分析的基石。

例题

例 1　$\sum\dfrac{2^n}{n!}$：比值 $\dfrac{2}{n+1}\to0<1$，收敛（其和为 $e^2-1$ 的相关式）。

例 2　$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\cdots\ (|x|<1)$。

应用

泰勒级数让计算器/计算机用多项式近似 $\sin,\ e^x,\ \ln$；傅里叶级数把声音、电流、图像分解为频率成分，是音频压缩、降噪、频谱分析的数学源头，并直接通向傅里叶变换。