解析函数

定义在复平面上的函数 $f(z)$，若处处可导则称解析（全纯）。可导的充要条件是柯西–黎曼方程
$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x\quad(f=u+iv)$
解析函数极其“刚性”：局部可导即处处无穷可微，并由边界值完全确定。

柯西积分定理与公式

解析函数沿闭曲线积分为零；且
$f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0},dz$
内部的值由边界决定。函数可展成泰勒级数，在奇点附近展成洛朗级数。

残差定理

$\oint_C f(z),dz=2\pi i\sum \mathrm{Res},(f,z_k)$
把围道积分化为留数之和，是计算实定积分与级数求和的利器。

例题

例 1　$\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z}=2\pi i$（$z=0$ 处留数为 $1$）。

例 2　用残差法求 $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+x^2}=\pi$。

应用

复变函数是流体力学（二维势流）、电磁与信号处理（拉普拉斯/傅里叶变换的理论基础）、量子力学与空气动力学（保角映射设计翼型）的核心工具，也是解析数论的利器。