相空间与稳定性

把系统状态看作相空间中的点，演化是一条轨道。**不动点（平衡态）**的稳定性由线性化矩阵的特征值判定：实部全负则稳定。极限环对应周期振荡。

分岔

参数连续变化时，系统定性行为可能突变，称分岔（鞍结、霍普夫、倍周期）。倍周期分岔的级联是通向混沌的典型道路。

混沌与吸引子

混沌：确定性系统却对初值极端敏感（蝴蝶效应），长期不可预测，但轨道被吸引到分形结构的奇怪吸引子上。Lyapunov 指数为正是混沌的标志。

例题

例　Logistic 映射 $x_{n+1}=r,x_n(1-x_n)$：$r$ 增大时经历倍周期分岔，约 $r>3.57$ 进入混沌；洛伦兹方程给出著名的蝴蝶形吸引子。

应用

天气预报的不可预测性源于大气的混沌（洛伦兹的发现）；生态种群、心律失常、激光、流体湍流均含混沌；分形几何刻画海岸线与金融波动；混沌还用于保密通信与随机数生成。