代数拓扑：同调与上同调

把拓扑空间的“洞”代数化：同调群 $H_n$ 计数各维度的洞，上同调带乘积结构，是区分流形、证明不动点与万有定理的强力工具。

微分拓扑与李群

微分拓扑研究光滑流形（如示性类、莫尔斯理论）。李群是连续对称群（旋转群、酉群），其切空间是李代数，把连续对称化为线性代数问题。

表示论与调和分析

表示论把抽象群实现为矩阵，揭示其结构，并统一傅里叶分析（群上的调和分析）。它贯穿数论、几何与物理。

现代版图

代数数论（理想、类域论）与解析数论（黎曼 ζ 函数、素数分布）深化数论；代数几何（概形、上同调）是当代核心，朗兰兹纲领试图把数论、几何与表示论编织成统一图景。

例题

例　球面 $S^2$ 的同调 $H_0=H_2=\mathbb Z,\ H_1=0$：它有一个连通块、无一维洞、有一个二维“空腔”，与环面截然不同。

应用

这些理论是理论物理的语言：李群与表示论支配粒子物理的标准模型与规范场论，同调与拓扑解释拓扑物态与弦论；代数几何与数论则塑造了现代密码学与编码的深层结构。