群

带一个满足结合律、有单位元与逆元的运算的集合称群。群刻画对称性：旋转、置换、模运算都是群。子群、陪集、同态、正规子群与商群是基本结构，拉格朗日定理指出子群阶整除群阶。

环与域

两种运算（加、乘）的结构是环；每个非零元都可逆的交换环是域（如 $\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C$ 与有限域 $\mathbb F_p$）。整环、主理想整环、唯一因子分解整环层层细化了“因式分解”。

伽罗瓦理论

把域扩张与置换群对应起来，用群的可解性判定方程能否根式求解。结论：一般五次及以上方程无根式解——抽象结构回答了三百年的具体难题。

例题

例 1　模 $n$ 加法构成循环群 $\mathbb Z_n$；时钟即 $\mathbb Z_{12}$。

例 2　$\mathbb F_2={0,1}$ 上的多项式运算是纠错码的基础。

应用

有限域是 AES、椭圆曲线密码与纠错码（CD/二维码用的 Reed–Solomon）的运算舞台；群论描述晶体与粒子物理的对称性（诺特定理把对称性与守恒律联系起来）。