重积分

二重积分 $\displaystyle\iint_D f,dA$ 是“把无数个小块上的量加起来”，可用累次积分计算；圆域宜换极坐标 $dA=r,dr,d\theta$。三重积分类似，球域用球坐标。重积分算面积、体积、质量、质心与转动惯量。

曲线积分与曲面积分

沿曲线对向量场做功 $\displaystyle\int_C \mathbf F\cdot d\mathbf r$；穿过曲面的通量 $\displaystyle\iint_S \mathbf F\cdot d\mathbf S$。

三大积分定理（牛顿–莱布尼茨的高维推广）

$\oint_C \mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_D(\partial_xQ-\partial_yP),dA\quad(\text{Green})$
$\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot d\mathbf S=\iiint_V \nabla!\cdot!\mathbf F,dV\quad(\text{Gauss})$
$\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot d\mathbf S\quad(\text{Stokes})$

例题

例 1　$\displaystyle\iint_D (x^2+y^2),dA$，$D$ 为单位圆：换极坐标 $=\int_0^{2\pi}!!\int_0^1 r^2\cdot r,dr,d\theta=2\pi\cdot\dfrac14=\dfrac\pi2$。

例 2　用 Green 定理算面积：$\text{面积}=\dfrac12\oint_C(x,dy-y,dx)$。

应用

物理三大定律皆为通量形式：高斯定理给出电场的高斯定律与流体的质量守恒，斯托克斯定理对应安培环路定律。麦克斯韦方程组正是用散度与旋度写成。工程中算流量、热流、引力场都依赖场论。