一阶方程

含未知函数及其导数的方程。常见可解类型：可分离变量 $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$、一阶线性 $y'+P(x)y=Q(x)$（用积分因子 $e^{\int P,dx}$）、恰当方程。初值问题在适当条件下解存在且唯一。

高阶线性方程

常系数齐次方程 $y''+py'+qy=0$ 解由特征方程 $r^2+pr+q=0$ 决定：两实根 $\Rightarrow c_1e^{r_1x}+c_2e^{r_2x}$；共轭虚根 $\alpha\pm\beta i\Rightarrow e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x+c_2\sin\beta x)$，对应振动。

方程组与稳定性

一阶线性方程组 $\mathbf x'=A\mathbf x$ 的行为由 $A$ 的特征值决定：实部全负则平衡点渐近稳定，否则不稳定——这是控制系统设计的核心判据。

例题

例 1　$y'=ky$ 解得 $y=Ce^{kx}$（指数增长/衰减）。

例 2　$y''+\omega^2 y=0$ 解为 $y=C\cos(\omega x+\varphi)$，即简谐振动。

应用

种群动力学用 Logistic 方程 $N'=rN(1-N/K)$；RLC 电路与弹簧振子是二阶线性方程；牛顿冷却、放射性衰变、传染病 SIR 模型都由微分方程刻画。它是连接数学与自然规律的桥梁。