五心

  • 内心：三条角平分线交点，到三边距离相等，是内切圆圆心；
  • 外心：三条边的垂直平分线交点，到三顶点距离相等，是外接圆圆心；
  • 重心：三条中线交点，把每条中线分成 $2:1$；
  • 垂心：三条高线所在直线的交点；
  • 旁心：一条内角平分线与另两角外角平分线的交点（共 3 个）。

例题

例 1　重心 $G$ 满足 $AG:GD=2:1$（$D$ 为对边中点）。

例 2　直角三角形的外心是斜边中点（斜边是外接圆直径）。

应用

在三角形地块内挖井，要到三个村子（顶点）距离相等 → 选外心；要到三条路（边）距离相等 → 选内心。不同需求对应不同的“心”。