概念

$y=ax^2+bx+c,(a\ne0)$ 叫二次函数，图像是抛物线。配方得顶点式：
$$y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$

性质

对称轴 $x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点是最值点：$a>0$ 开口向上有最小值，$a<0$ 有最大值。

例题

例 1　$y=x^2-4x+3$：对称轴 $x=2$，顶点 $(2,-1)$，与 $x$ 轴交于 $1,3$。

例 2　$y=-2(x-1)^2+8$ 的最大值是 $8$（在 $x=1$ 处）。

利润最值应用

成本 $20$ 元、售价 $x$ 元、日销 $-2x+100$ 件，利润
$w=(x-20)(-2x+100)=-2x^2+140x-2000$，对称轴 $x=35$，故售价 $35$ 元时利润最大 $w=450$ 元。

抛物线模型应用

拱桥、喷泉水流的轨迹是抛物线。设 $y=-0.5x^2+2x$，最高点在 $x=2$ 处 $y=2,\text{m}$——二次函数为“先升后降”现象建模。